翻译组成员介绍： Alex
Alex，英语爱好者现在洛阳工作
文章: betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/
译者: Alex 校对: 向海飞
正弦和微积分 Geeking Out With Calculus
用微积分描述正弦曲线/正弦波。就像 e，正弦波可分解为更微妙的起伏：
正弦波从0开始以单位速度增长
在这个过程中，一个相反的加速度试图将其拉回原点
如何理解这个过程？如何改变正弦波离原点的距离？
最初的推力使距离线性增长：y (距离原点) = x (时间)
随时接受一个大小为 -x 相反的方向力。负加速度通过双重积分转换为距离：
加速度对距离的影响就像上一个例子中工资增长对银行账户的影响一样。“工资增长”必然会改变收入，而收入则会改变银行账户（两种变化的累积作用）。
因此，不难猜测，x 秒后正弦值为 x(初始值)减去 x³/3！(负加速度的影响):
但是，好像哪里出了问题？ — 正弦是一个稳定的过程，不会突然下降！e是 通过“增长产生增长”的模式逐渐缓慢增长，正弦本质上是一样的。“反作用力”减小了正弦离原点的距离 x³/3!，而这种“减少”又产生了另一种“反作用力”。观察弹簧不难发现，拉伸弹簧向平衡点移动，但向下反弹时会越过平衡点，进而产生向上拉力(同样，弹簧向上反弹时也会越过平衡点)。疯狂的弹簧！
每一个“反作用力”都需要考虑:
y = x是初始状态，产生“反作用力”
y = -x³/3！，产生“反作用力”
y= x^5/5！，产生“反作用力”
y = -x^7/7! ，产生“反作用力”
…
优化正弦波模型
如同e，正弦可以描述为无限级数：
当我将正弦视为初始推力和反作用力的组合时，这个公式很容易理解。初始推力（y=x，正方向)最终会被反作用力超过，这种反作用力最终会被自己的反作用力超过，循环无限。
余弦和微积分 – The Calculus Of Cosine
余弦是位移后的正弦。既然我们已经理解了正弦，余弦当然不在话下！
正弦:从0开始，初始推力为 y = x (100%)
余弦:从1开始，没有初始推力
因此，余弦一开始就留在这个地方，等待反作用力推:
同理, 我们首先对-1双重积分产生反作用力-x²/2! 。这种反作用力产生第二种反作用力，第二种反作用力产生第三种反作用力…结果得到以下公式：
定义3：微分方程 – Definition 3: The Differential Equation
上面的公式用特定的方程描述正弦。事实上，一种更简单的方法是使用微积分方程：
WolframAlpha查询结果
这个公式很有数学之美:
初始位置为 y
加速度(二阶导数)y’与当前位置相反（-y）
这个公式可以在正弦和余弦中验证。然而，一开始我拒绝了这个定义。它与正弦的形象相差甚远。然而，我没有意识到它揭示了正弦的本质（“与当前位置相反的加速度”）。
正弦和 e 相互关联，而且e^x以下表述可用：
类似于正弦公式，只有符号变为正，即“加速度等于当前位置”。然而，如果正弦仍然被称为“圆内高度”，那么我们就很难与之和解 e 联系起来。
不幸的是，我没有学好微分方程。但现在我想学习，因为微分方程使正弦更容易表达，我认为对正弦和e有直觉对学习数学尤为重要。
总结 – Summing It Up
本文的目标是展示越来越多的正弦内容（基本图形和概念），而不是数学中微不足道的角色（圆的一部分）
正弦是大值(1)和小值(-1)之间的平稳摆动。从数学的角度来看，加速度与当前位置相反。这种“负增长”使正弦永不停止摆动。
正弦不是圆的一部分，只是碰巧出现在圆形和三角形(弹簧、钟摆、琴弦震荡、声波等都是正弦波)
pi是sin(x)从中间位置开始，然后回到中间位置所需的时间。同样，pi不属于圆，也碰巧出现在圆里。
将正弦放入“头脑工具箱”中(以产生平滑运动)。最后，我们将直观地理解这些基本概念（e，pi，弧度、虚数、正弦等。)，并用它们做一顿美味的数学“大餐”！享受吧！(结束)
「予人玫瑰, 手留余香」感谢您对数学的支持！ ,
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